这是来自果壳问答的内容，看看技术帝们如何玩游戏。
Q：最近在玩2048那个游戏
玩顺了以后，2048还是能够比较轻松地达到的，但是再高呢?有没有人可以证明，4096是无法实现的?
鉴于楼里面有人提出4096已有百分百的通关方式，8192也有人成功过。还有人提出，最大可能是131072……但是楼主自己猜，要实现这个131072，运气的成分可能更大一点。
所以想修改一下问题：求问，能够给出必胜策略的最大值是多少??
@蜡笔桶拉出来溜溜
更多因为新出的是2或者4
因此，在脸最好的情况下
16个格子最多可以合出2^17=131072
这个事情是这样的
为了合出一个2^(N+1)
你必须有两个2^N
而且必须先合出第一个，再合出第二个
呃，虽然上面这句看似有些废话，但重点在于，你合第二个2^N的时候，由于第一个2^N的存在，会占用格子数
同理，为了合出第二个2^N，你得在【存在一个2^N，且存在一个2^(N-1)】的情况下，合出第二个2^(N-1)
因此，“最多能合出多少”这个问题，可以转化为“最多可以有多少格子被占用”
于是，16个格子，前15个被所有那些“第一个2^n”占用之后，剩下刷出一个4，这就是最极端的情况
此时场上最大的数是2^16=65536，把它们全合起来就得到131072
@南方的星星0218
楼上@蜡笔桶拉出来溜溜 的答案太理想化了，显然是不对的。要想达到2的17次方，场上唯一可能的排列方式一串2的n次的等比数列串成一串，并且，最后要刷出4还得是制定的排列方式，比如：
65536|512 |256|4
32768|1024|128|空
16384|2048|64 |8
8192 |4096|32 |16
而要想达成这种排列，上一步的最右一列从上到下必须是4 4 8 8，然而，这一排列的再上一步无论如何都推不出来了。所以，继续求解，求高级一点的解法。
@Nauden
必胜策略的最大值应该就是2048。
摘要：
先写一下证明思路吧：
一，当随机生成的数是2或4时，能确保生成的最大数是4，且能够在任意位置生成(①这个数不大于4,②这个数不小于4,③4可以在任意位置生成)。
二，当一行能在任意位置生成n时，则可以在相邻行的任意位置生成2n。
三，当一行以n为单位进行有计划的合成时，能确保生成的最大数是4n，且能在任意位置生成。(①这个数不大于4n,②这个数不小于4n,③4n可以在任意位置生成)。
4X2(4X2(4X2(4)))=2048。
一，
证明：
先证这个数最大是4。
只要举出一个不能生成8的反例就够了：出现一个2，移向一侧，紧邻着2出现一个4，此时只能移向另一侧，2的另一侧出现一个4，此时又只能移回来，出现一个2。变成4242，扑街。
(这个连续出现两个4比较少见，但是可能存在，在我们现在讨论的问题中，就是要讨论”最坏“的运气，而且4242这种悲剧大家应该都遇到过吧。)
再证这个数至少是4。
反证法，如果这一行没有4，那么剩下的全是2或0，游戏不可能结束。
于是我们证明了这个数是4。
但是光生成4是不够的，比如我们要在右边累加数字，结果出现了4242，还是一样要扑街的，所
以我们要进一步讨论：能否在指定位置生成4?答案是肯定的。
证明：
由于2和4组成的行游戏结束的必须条件是形成“4242”和“2424”，我们只要证明指定位置4的生成不晚于这样的情况的出现就可以了，由于这两种情况是完全对称的，所以下面我们只就4242进行证明。
4242的上一步只能是以下几种情况：
①0424 ②4024 ③4204 ④2420 ⑤2402 ⑥2042 ⑦2224
要使4出现在
第一格：①⑦：左移;②③：不动;④⑤⑥：右移--2242则左移;4242则不动
第二格：①④⑤：不动;②③：右移;⑥：左移;⑦：右移--4244则右移;2244则左移再右移。
第三格：①②③⑦：左移;④⑤：右移;⑥：不动
第四格：①②③⑦：不动;⑤⑥：左移--2424则不动，2422则右移;④：无解。
这里发现2420的情况是不能够保证在第四个生成4的，所以我们针对这种情况再往前推一步，由于这里的4在中间，不可能是加和生成的，于是242的上一步只可能是0024，0204,2004,2040中的一种，此时只要进行右移或者不动就可以在第四格得到一个4。
至此，我们已经证明了可以在第四行的任意位置得到一个4。
二，
当我们可以在最下一行任意位置生成4的时候，必然可以在整个16宫格的任意位置生成4或比4更大的数，于是我们可以确保整个十六宫格上三行的数至少是4。由于在最下一行的指定位置可以生成4，所以对于倒数第二行出现的任意一个4，都可以补足，生成8，于是倒数第二行可以视作一个以8为最小单位的行。
三，
下面我们不禁会想?如果2为单位能保证生成4，那么8为单位，能保证生成的最大数是不是16呢?答案是否定的。
因为对于最后一行而言，4是可能凭空出现的，而在倒数第二行中，16确是不会凭空出现的。于是我们下面来探究倒数第二行能够获得的最大数字。
把问题简化为，新生成的数只有2时，最后一行能获得的最大数字是多少呢?答案是8
证明：
先证这个数最大是8。
举一个反例：2000，左移--2002，左移(很显然这里左移右移是没有区别的，不需要考虑最优方案的问题--这句话下文中都用*号表示)，4200，只能右移--0242，只能左移--2422
①左移--2442，左移(*)，2822，右移(左移就2842扑街了)--2284，只能左移--4842，扑街。
②右移--2244
I.左移--4820，只能右移--2482，扑街。
II.右移--0248，只能左移，2482，扑街。
下面我们证明可以在任意位置生成8，(这样也就同时证明了这个数最小是8)。
由于新生成的数只能是2，我们可以很容易地形成4000和0004的情形，同样地由于对称，只考虑4000的情形。
8出现在：
第一格：右移再左移--2420或2402，右移--2242，连续左移。
第二格：右移再左移--2402或2420，右移--2242，连续左移--8420或8402--右移。
和上一次的证明不同，由于这里的4000和0004是可以在两个2的时候我们自主选择方向的，而不是4242或2424这种被动的局面，所以只需证明到这里，由对称性就可以证得可以在本行任意位置生成8了。
于是，在倒数第二行的任意位置可以生成32。同理倒数第三行以64为最小单位，可以生成256;第一行以512为单位，可以生成2048。
