玩过卡牌游戏的玩家，几乎都有过这样的经历：总有那么几张非常想要的卡牌，花了很多钱和时间去抽，却依然没有得到。最近，日本爱知县的一名高三学生，根据自己所掌握的概率知识和数学图形软件，写了一篇研究手游抽卡机制的文章，并因其独创性获得“日本数学审查协会奖”。
有人肯定会问“日本数学审查协会奖”是个什么奖，葡萄君给大家解释一下。日本有一个名为“理数教育研究所”的机构，这个机构每年都会举办一个“算数·数学自由研究大赛”的活动，这个活动是为了纪念一位名叫盐野直道的日本教育家，而“日本数学审查协会奖”就是这个大赛其中的一个奖项。
盐野直道毕业于东京帝国大学（现东京大学），曾经担任过日本文部省（相当于中国的教育部）的图书主编，曾经编写了一本《寻常小学算术》的数学教科书，获得了国际数学家大会的大加赞赏。后人为了纪念他的成就，设立了这样一个数学大赛。设立这个大赛的目的，是为了鼓励日本的中小学生从日常生活和学习中寻找问题，进行算数和数学的自主研究。
盐野直道
这个“算数·数学自由研究大赛”目前举办了四届，而我们要介绍的这名日本高三学生，正是刚刚结束的第四届大赛的获奖者。
这届大赛共设立了三个等级的奖项：最优秀奖、优秀奖和鼓励奖。而这位日本爱知县的武藤拓志同学，获得的是优秀奖中的“日本数学审查协会奖”。根据理数教育研究所官网发布的消息，这次大赛一共收到15411件作品，其中获得最优秀奖的有6人，优秀奖的有7人。武藤同学也算是在这一大堆竞争者中脱颖而出了。
武藤同学在上图红圈的位置上
至于武藤同学为什么能获奖，审查委员会给出了他们的理由。他们认为：当有多种赠品的时候，平均要买多少个点心来集齐赠品，这个问题很常见，解法也很多。不过该学生以这个问题进行延伸，对稀有道具存在时，集齐所有道具所需要的平均回数进行了巧妙地求解。他使用了稍许超纲的数学知识，体现了高中数学自主研究报告的原创性，值得褒奖。
上图为获奖的日本学生武藤拓志
这位武藤同学在其研究报告的概要中介绍了“完全抽卡系统”，即通过集齐不同稀有道具来获得更加稀有道具的系统。
“完全抽卡系统”可能会诱导玩家花费数十万日元的消费
葡萄君给大家解释一下什么是“完全抽卡系统”。以上图为例，要想获得稀有道具“王冠”，我们需要收集道具A、道具B、道具C和道具D，然而运营方可以通过降低其中一种道具的掉率，来增加集齐所有道具的难度，获得王冠的概率大大降低。通过这一数值设计，促使不少沉迷于这种卡牌游戏的玩家花费大量金钱去抽卡。日本早期手游曾经使用过这一抽卡机制，不过由于该机制有诱导用户参与赌博的嫌疑，在2012年以违反《景品表示法》为名被日本政府全面禁止，该机制也因此在日本手游市场上消失了。
武藤同学的研究内容
武藤同学的设想
在完全抽卡机制这一大条件下，武藤同学在道具等概率掉落和其中一种道具概率为p，其他道具概率均为(1-p)/(n-1)的情况下，分别计算出集齐所有道具所需要的数学期望（即平均次数）E₁(n)和E₂(n)。他提出了如下设想：①这两种情况下，数学期望会随种类数n的增加而大幅增加；②n取任意值时，都有E₁(n)≤E₂(n)成立；③在p趋于0时，E₂(n)会大幅增加。
他在研究报告中给出了详细的计算过程和论证，最后成功论证了预想①和预想③，不过他目前没有证明出预想②，只是在结论里提到了这个预想成立的可能性很高。由于葡萄君的数学知识已经完全返还给了高中数学老师，所以这里就不进行过程分析了。感兴趣的读者可以访问下列链接，对该研究结果进行下载：
